Ecuaciones Diferenciales

Temario

• Introducción:
  • Definiciones: ecuación diferencial ordinaria (EDO), variable independiente y variable dependiente, orden, EDO autónoma, sistema de EDOs, forma normal, etc.
  • Campos de direcciones y campos de vectores.
  • Problemas de valor inicial (PVIs).
  • Dos teoremas de existencia y unicidad.
• Ecuaciones Lineales:
  • Estructura de las Soluciones.-
    • PVIs lineales.
    • Conjunto fundamental de soluciones.
    • Wronskiano, fórmula de Liouville e independencia lineal.
  • Ecuaciones Lineales a Coeficientes Variables.-
    • El método de reducción de orden para ecuaciones homogéneas.
    • El método de variación de parámetros para ecuaciones no homogéneas.
  • Ecuaciones Lineales a Coeficientes Constantes.-
    • El método del polinomio característico para ecuaciones homogéneas.
    • El método de coeficientes indeterminados para ecuaciones no homogéneas.
    • Ecuaciones de Cauchy-Euler. [Opcional]
  • Problemas de Valor en la Frontera.-
    • Existencia con unicidad, existencia sin unicidad y no existencia de soluciones.
    • PVFs con parámetros. VAPs y FUPs.
  • Oscilaciones.-
    • Funciones periódicas y cuasiperiódicas.
    • Oscilaciones harmónicas: forma amplitud-fase.
    • Oscilaciones libres (sub, sobre y críticamente) amortiguadas.
    • Oscilaciones forzadas no amortiguadas: soluciones periódicas, resonancia y pulsación.
    • Oscilaciones forzadas amortiguadas: factor de amplificación y curvas de respuesta.
• Sistemas Lineales:
  • Estructura de las Soluciones.-
    • PVIs lineales.
    • Linealidad.
    • Conjunto fundamental de soluciones.
    • Wronskiano, fórmula de Liouville e independencia lineal.
    • Matrices fundamentales y matriz principal.
    • Fórmula de variación de parámetros.
  • SLs Homogéneos a Coeficientes Constantes.-
    • El caso diagonalizable real.
    • El caso diagonalizable complejo.
    • El caso general: Exponencial de una matriz y forma de Jordan.
    • La forma de Jordan real para sistemas 2D.
  • Estabilidad de SLs a Coeficientes Constantes.-
    • Sistemas inestables, estables y asintóticamente estables.
    • El teorema general.
    • El criterio traza-determinante para sistemas 2D.
  • Clasificación de SLs Homogéneos a Coeficientes Constantes.-
    • Clasificación de sistemas 2D: sillas, centros, focos, nodos y sistemas degenerados.
    • Croquis de sistemas 2D: direcciones de entrada y salida, direcciones rápidas y lentas, rectas de puntos de equilibrio, sentido de giro, etc.
    • El criterio traza-determinante para sistemas 2D.
    • Algunos comentarios sobre sistemas 3D.
• Sistemas No Lineales:
  • Puntos de equilibrio inestables, estables y asintóticamente estables.
  • El retrato de fases de SNLs 1D. La ecuación logística.
  • Estabilidad de puntos de equilibrio por linealización. Sillas, focos y nodos no lineales.
  • Estabilidad de puntos de equilibrio por el método de Liapounov. Centros no lineales.
  • El retrato de fases del péndulo sin fricción. [Opcional]
• Modelos:
  • EDOs lineales de primer orden: compuestos granulares, desintegración radioactiva, Airbus A380, depósito de salmuera, modelo de Malthus, etc.
  • EDOs lineales de orden superior: principio de Arquímedes, muelle vertical, etc.
  • EDOs no lineales: la ecuación logística, estatocolector estelar, vela solar, la ecuación del paracaidista, cuerpo cayendo en un fluido, el péndulo, reacción química simple, etc.
  • Sistemas de EDOs lineales: péndulo de Wilberforce, contaminación en los Grandes Lagos, etc. [Opcional]
  • Sistemas de EDOs no lineales: reacción química triple, modelo depredador-presa, dos especies competitivas, pescando platelmintos, etc. [Opcional]
• Ecuaciones en Derivadas Parciales:
  • Las tres ecuaciones básicas: ondas, Laplace/Poisson y calor.
  • Condiciones iniciales: posición, velocidad y temperatura.
  • Condiciones de frontera: Dirichlet (valor fijo) y Neumann (flujo fijo).
  • Algunas leyes de conservación para las ecuaciones de ondas 1D y calor 1D.
  • Linealidad: superposición, homogeneización y unicidad.
  • Fórmula de D'Alembert para la cuerda vibrante infinita. Superposición de ondas.
  • Separación de variables en la ecuación de ondas 1D. Ondas estacionarias.
  • Separación de variables en la ecuación del calor 1D. Temperaturas límite.
  • Separación de variables en la ecuación de Poisson 2D en dominios rectangulares.
  • Principios del máximo y mínimo para la ecuación del calor. Unicidad de soluciones. [Opcional]
  • Principios del máximo y mínimo para la ecuación de Poisson. Unicidad de soluciones. [Opcional]

Bibliografía

• Apuntes de la asignatura. Gratuitos, por supuesto, aunque quizás demasiado compactos.
  Útiles por dos razones. En primer lugar, para detectar errores en vuestros apuntes. En segundo lugar, para saber qué se va a explicar en la próxima clase. Leerlos antes de la clase es algo recomendable. Finalmente, decir que debeis tomar vuestros propios apuntes. No hacerlo sería un primer paso hacia el fracaso en esta asignatura (o en cualquier otra).
  Estos apuntes están divididos en los cinco capítulos del temario y se pueden obtener por separado. El tema Modelos no requiere apuntes, pues es púramente práctico.
  • Introducción (4 páginas).
  • Ecuaciones Lineales (18 páginas).
  • Sistemas Lineales (13 páginas).
  • Sistemas No Lineales (6 páginas).
  • Ecuaciones en Derivadas Parciales (13 páginas).
• Lista de problemas. Hemos preparado una lista con más de cien problemas. La mitad de ellos se han extraido de antiguos exámenes. Así el estudiante sabrá qué nivel se espera de él.
  Cada problema va precedido de un descriptor. El descriptor de los problemas adaptados de exámenes anteriores es la fecha del examen, lo cual es útil pues en la sección de exámenes hemos colgado la resolución de los últimos. El descriptor de los otros enfatiza el concepto principal que cada problema trata.
  Existen dos versiones de esta lista. La primera sólo contiene los enunciados. En la segunda, muchos problemas van seguidos de su solución.
  • Programa y Problemas de Ecuaciones Diferenciales (Versión sin respuestas).
  • Programa y Problemas de Ecuaciones Diferenciales (Versión con respuestas).
• Libros electrónicos. Libros disponibles de forma gratuita en la red y escritos con voluntad de servicio a la comunidad.
  Estos libros suelen cambiar (se supone que a mejor) con el paso del tiempo, pues su formato permite que el autor efectúe modificaciones en cualquier momento.
  A modo de ejemplo, podeis consultar los siguientes.
  • El libro Differential Equations de Paul Dawkins. Cubre los temas de Ecuaciones Lineales, Sistemas Lineales y Ecuaciones en Derivadas Parciales. Muy bien escrito. Quizá el mejor de esta lista. En la web de Dawkins podeis encontrar otros documentos curiosos como How To Study Mathematics o Common Math Errors. El segundo documente prueba fehacientemente que todos los estudiantes cometen los mismos errores.
  • Los apuntes escaneados de Rafael Ortega (Universidad de Granada). Sus lecciones 1, 5 y 6 se intersecan con nuestros temas de Introducción y Ecuaciones Lineales. Probablemente el material más didáctico de la lista.
  • El documento Notes on Differential Equations de Bob Terrell (Cornell University). Las primeras ciento diez páginas cubren casi todo nuestro temario, salvo la parte de EDPs. El documento con mejores gráficos de la lista.
  • El proyecto de libro ODEs de Norman Lebovitz (Chicago University), aunque quizá es demasiado abstracto para nuestros intereses.
  Todos ellos están en formato PDF. Si no os gustan, buscad otros. Y si encontrais algo interesante, decídmelo.
• Libros normales. Algunas opciones dentro de esta categoría son:
  • P. Puig Adam, Ecuaciones Diferenciales. Ed. Nuevas Gráficas, 1980.
  • D. Zill, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Ed. Iberoamericana, 1988.
  • H. F. Weimberger, Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales. Ed. Reverté, 1982.
  Si pensamos en las matemáticas en general, cualquier alumno de ingeniería encontrará interesante el recetario:
  • M. R. Spiegel, Fórmulas y Tablas de Matemática Aplicada. Serie de Compendios Schaum. Ed. McGraw Hill.

Multimedia

• Applets en JAVA para visualizar fenómenos físicos:
  • El profesor Hubert Hohnm del Massachusetts Institute of Technology (MIT) explica varios fenómenos de resonancias, la fórmula de D'Alembert para la cuerda vibrante infinita, el estado estacionario de la ecuación de calor 1D con condiciones de Dirichlet, etc. Son muy buenos. Os reto a que os conecteis, escojais uno al azar e intenteis dilucidar que ayuda a explicar.
  • Walter Fendt tiene más de cuarenta. Por ejemplo, al principio del curso veremos uno sobre la desintegración radioactiva. La parte de oscilaciones está bien representada. Traducidos al castellano.
  • Paul Falstad tiene una colección de applets sobre temas matemáticos y físicos que consultaremos en la última parte del curso. Entre otras cosas, simula el movimiento de una membrana elástica (es decir, la ecuación de ondas 2D) de formas rectangular o circular. En el caso circular, que simula un tambor, hasta se puede oir el sonido creado.
• Clases en video. El Massachusetts Institute of Technology, uno de los centros de investigación más prestigiosos del mundo, ha publicado en su web las clases del Profesor Arthur Mattuck filmadas en video. Advertencia: El temario presenta algunas diferencias y Mattuck habla en inglés.
• Wikipedia. ¿Qué se puede decir sobre esta enciclopedia on-line? Gargantuesca y pantagruélica. El primer lugar donde empezar a resolver cualquier duda. Pero, cuidado, no debe ser el último. Mejor la versión inglesa. Algunas entradas que consultaremos son: Airbus A380, Bussard ramjet, solar sail, Beat (acoustics), Lorenz attractor, etc.
• Youtube. Si poneis en el buscador del sitio Youtube las palabras clave adecuadas, encontrareis videos divulgativos interesantes. Probad, por ejemplo, con las siguientes palabras clave: Tacoma Narrows bridge (colapso de un puente por resonancia mecánica), Wilberforce pendulum (conversión de movimiento longitudinal en movimiento torsional), resonance rice (visualización de patrones de resonancia usando granos de arroz), Walter Levin promo (Levin es el más famoso profesor de física de USA, del MIT como no, tres mil visitas diarias a sus videos), etc.
• Google. Es tu aliado. Por ejemplo, si estudiamos la difusión de contaminantes en los Grandes Lagos y sabemos que se puede modelar mediante ecuaciones diferenciales, introducimos las palabras clave great lakes differential equations y voilà!
• MATLAB. Es un sofware comercial especializado en el cálculo matemático de tipo simbólico y numérico. Instalado en todos los ordenadores de la ETSEIB. Útil para comprobar que no has cometido ningún error al resolver aquel problema repleto de cálculos tediosos.

Exámenes anteriores y sus resoluciones