Ecuaciones Diferenciales

Avisos

• No se permiten cambios de grupo fuera de la matrícula oficial.
• Cada cuatrimestre algunos estudiantes solicitan cursar la asignatura sin matricularse de forma oficial. No se aceptará ninguna petición en ese sentido. La normativa de la Escuela lo prohíbe.

Notas

• Prueba
  • El 20 de marzo de 2013, desde las 19:15 horas hasta las 20:30 horas.
  • Soluciones: PDF.
  • Notas provisionales: PDF.
  • Reclamaciones: Cerradas.
  • Notas definitivas: Tan sólo se ha producido una modificación. La nota del Eloy Roy Brusi el primer problema pasa de 2,75 a 3.
  • Ver exámenes: Cerrado.
• Examen Parcial
  • El 18 de abril de 2013, a las 11 horas.
  • Soluciones: PDF.
  • Notas provisionales: PDF.
  • Reclamaciones: Cerradas.
  • Notas definitivas: PDF.
  • Ver exámenes: A convenir con los correctores.
    • Problema 1: Rafael Ramírez
    • Problema 2: Tomás Lázaro
    • Problema 3: Jaume Haro

Temario

• Cálculo Vectorial:
  • Aplicaciones.-
    • Longitud, área y volumen.
    • Promedio de una función.
    • Masa y centro de masas de un cuerpo.
    • Momento de inercia de un cuerpo.
  • Integrales de funciones y campos sobre curvas.-
    • Curvas.
    • Longitud de una curva.
    • Integrales de funciones sobre curvas.
    • Circulaciones de campos a lo largo de curvas.
  • Integrales de funciones y campos sobre superficies.-
    • Superficies.
    • Área de una superficie.
    • Integrales de funciones sobre superficies.
    • Flujos de campos 3D a través de superficies.
  • Los teoremas integrales fundamentales: Newton-Leibniz, Green, Stokes y Gauss.-
    • Definiciones.
    • Campos y funciones especiales.
    • El teorema del gradiente (Newton-Leibniz).
    • Orientaciones consistentes (o compatibles).
    • El teorema del rotacional 2D (Green).
    • El teorema del rotacional 3D (Stokes).
    • El teorema de la divergencia 3D (Gauss).
• Ecuaciones Diferenciales Ordinarias:
  • Nociones y resultados básicos.
    • Sistemas de EDOs.
    • Campos vectoriales.
    • Teoremas de existencia y unicidad.
    • EDOs de orden superior.
    • El retrato de fases de EDOs de primer orden autónomas.
  • Sistemas lineales.
    • Resolución de SLs.
    • Estabilidad de SLs a coeficientes constantes.
    • Clasificación de SLs 2D a coeficientes constantes.
    • Croquis de SLs a coeficientes constantes.
  • Sistemas no lineales.
    • Estabilidad de puntos de equilibrio.
    • Estabilidad de puntos de equilibrio por linealización.
    • Estabilidad de puntos de equilibrio por el método de Liapunov.
    • Evolución de un volumen.
    • El retrato de fases del péndulo sin fricción.
• Ecuaciones en Derivadas Parciales:
  • Las tres ecuaciones básicas: ondas, calor y Laplace/Poisson.
    • La ecuación de ondas 1D (cuerda vibrante).
    • La ecuación de calor 1D.
    • Equilibrios elásticos y térmicos 1D en el caso homogéneo.
    • Las versiones multidimensionales de las ecuaciones de ondas y calor.
    • Equilibrios elásticos y térmicos multidimensionales: la ecuación de Laplace/Poisson.
  • Condiciones iniciales, condiciones de frontera y flujo de calor.
  • Linealidad: superposición y homogeneización.
  • Fórmula de D'Alembert para la cuerda vibrante infinita.
  • Separación de variables.
    • PVFs lineales homogéneos de segundo orden.
    • Desarrollos de Fourier.
    • "Standing waves" en la ecuación de ondas 1D.
    • "Steady state" en la ecuación de calor 1D.
    • Modos normales en la ecuación de Poisson 2D en un rectángulo.

Evaluación

• Prueba antes del examen parcial:
  • Se realizará fuera del horario de clases, el 20 de marzo de 2013 desde las 19:15 horas hasta las 20:30 horas.
  • Sólo entra la parte de cálculo vectorial hasta flujos (inclusive).
  • Es un 16% de la nota final.
  • Es una prueba con dos problemas breves.
  • Formulario, sí; tabla de primitivas y calculadora, no.
• Examen parcial:
  • Tiene lugar el 18 de abril de 2013 a las 11 horas.
  • Importante: Sólo entra la parte de cálculo vectorial.
  • Es un 24% de la nota final.
  • Es una prueba con tres problemas breves.
  • Formulario, sí; tabla de primitivas y calculadora, no.
• Examen final:
  • Tiene lugar el 27 de junio de 2013 a las 8 horas.
  • Importante: Sólo entran las dos partes de ecuaciones diferenciales (ordinarias y parciales).
  • Es un 60% de la nota final.
  • Es una prueba con dos partes diferenciadas: problemas (formulario, sí; calculadora, no) y teoría (ni formulario, ni calculadora).

Bibliografía

• Apuntes de la asignatura. Gratuitos, por supuesto, aunque quizá demasiado compactos.
  Útiles por dos razones. En primer lugar, para detectar errores en vuestros apuntes. En segundo lugar, para saber qué se va a explicar en la próxima clase. Leerlos antes de la clase es algo recomendable.
  Estos apuntes están divididos en las tres partes del temario y se pueden obtener por separado.
  • Cálculo Vectorial.
  • Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
  • Ecuaciones en Derivadas Parciales.
• Lista de problemas. Existen dos versiones de la lista de problemas: con y sin soluciones. Muchos problemas se han extraido de antiguos exámenes. Así el estudiante sabrá qué nivel se espera de él.
  Cada problema va precedido de un descriptor. En el fichero PDF cada descriptor suele contener un enlace a algún artículo de Wikipedia, applet de Java o material externo, que ayuda a entender el problema.
• Libros electrónicos. Libros disponibles de forma gratuita en la red y escritos con voluntad de servicio a la comunidad.
  Estos libros suelen cambiar (se supone que a mejor) con el paso del tiempo, pues su formato permite que el autor efectúe modificaciones en cualquier momento.
  A modo de ejemplo, podeis consultar los siguientes.
  • Vector Calculus de Michael Corral. Las últimas páginas de este libro cubren el primer bloque de nuestra asignatura. Contiene varios ejercicios resueltos y excelentes dibujos.
  • Differential Equations de Paul Dawkins. Como su nombre indica, cubre los dos últimos bloques del curso. Muy bien escrito. Quizá el mejor de esta lista. En la web de Dawkins podeis encontrar otros documentos curiosos como How To Study Mathematics o Common Math Errors. El segundo documente prueba fehacientemente que todos los estudiantes cometen los mismos errores.
  • Notes on Differential Equations de Bob Terrell (Cornell University). También cubre los dos últimos bloques de nuestra asignatura. El documento con mejores gráficos de la lista.
  • ODEs de Norman Lebovitz (Chicago University), aunque quizá es demasiado abstracto para nuestros intereses.
  Todos ellos están en formato PDF. Si no os gustan, buscad otros. Y si encontrais algo interesante, decídmelo.
• Libros normales. Algunas opciones dentro de esta categoría son:
  • Jerold E. Marsden y Anthony J. Tromba, Cálculo Vectorial. Adison-Wesley, 1991.
  • Ron Larson y Bruce H. Edwards, Cálculo 2. Mc Graw-Hill, 2010.
  • Morris Tenebaum y Harry Pollard, Ordinary Differential Equations. Dover, 1985.
  • D. Zill, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Thomson Paraninfo, 2009.
  • Robert L. Borreli y Courtney S. Coleman, Ecuaciones Diferenciales: una Perspectiva de Modelización. Oxford University Press, 2002.
  • P. Puig Adam, Ecuaciones Diferenciales. Nuevas Gráficas, 1980.
  • H. F. Weimberger, Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales. Ed. Reverté, 1982.

Multimedia

• Wikipedia. ¿Qué se puede decir sobre esta enciclopedia on-line? Gargantuesca y pantagruélica. El primer lugar donde empezar a resolver cualquier duda. Mejor la versión inglesa.
• Applets en JAVA para visualizar fenómenos físicos:
  • David Little de Penn State University ha escrito varios applets para visualizar diferentes aspectos del cálculo en una y varias variables. Destacamos los dedicados a la aproximación numérica de longitudes de curvas e integrales de funciones sobre curvas.
  • Paul Falstad tiene una colección de applets sobre temas matemáticos y físicos que consultaremos en la primera y última partes del curso. Entre otras cosas, permite visualizar la divergencia y el rotacional de diferentes campos de velocidades o de fuerzas, algunos provenientes de potencial. También simula el movimiento de una membrana elástica (es decir, la ecuación de ondas 2D) de formas rectangular o circular. En el caso circular, que simula un tambor, hasta se puede oir el sonido creado.
  • Hubert Hohnm del Massachusetts Institute of Technology (MIT) explica varios fenómenos de resonancias, la fórmula de D'Alembert para la cuerda vibrante infinita, el estado estacionario de la ecuación de calor 1D con condiciones de Dirichlet, etc. Son muy buenos. Os reto a que os conecteis, escojais uno al azar e intenteis dilucidar que ayuda a explicar.
  • Walter Fendt tiene más de cuarenta. Por ejemplo, veremos uno sobre la desintegración radioactiva. La parte de oscilaciones está bien representada. Traducidos al castellano.
• OpenCourseWare (MIT). El Massachusetts Institute of Technology, uno de los centros de investigación más prestigiosos del mundo, ha publicado en su web todas sus clases dentro del marco de su OpenCourseWare. Podeis encontrar apuntes, listas de problemas, material multimedia e incluso clases en video. Destacamos los siguientes cursos del OpenCourseWare como los más cercanos al temario de nuestra asignatura.
  • Multivariable Calculus para la primera parte de nuestra asignatura.
  • Differential Equations para la segunda parte de nuestra asignatura.
  • Linear Partial Differential Equations para la última parte de nuestra asignatura.
• Khan Academy. Salman Khan desde su propia casa ha creado más de 2400 videos que explican de forma sencilla y clara una sorprendente variedad de materias, principalmente matemáticas y ciencias. En su portal Khan Academy donde podeis encontrar videos sobre casi todos los conceptos introducidos en nuestra asignatura. Debeis buscar bajo los epígrafes Calculus y Differential Equations.
• Youtube. Si poneis en el buscador del sitio Youtube las palabras clave adecuadas, encontrareis videos divulgativos interesantes. Probad, por ejemplo, con las siguientes palabras clave: Tacoma Narrows bridge (colapso de un puente por resonancia mecánica), Wilberforce pendulum (conversión de movimiento longitudinal en movimiento torsional), resonance rice (visualización de patrones de resonancia usando granos de arroz), Walter Levin promo (Levin es el más famoso profesor de física de USA, del MIT como no, tres mil visitas diarias a sus videos), etc.
• Google. Es tu aliado. Por ejemplo, si estudiamos la difusión de contaminantes en los Grandes Lagos y sabemos que se puede modelar mediante ecuaciones diferenciales, introducimos las palabras clave great lakes differential equations y ¡voilà!
• MATLAB. Es un sofware comercial especializado en el cálculo matemático de tipo simbólico y numérico. Instalado en todos los ordenadores de la ETSEIB. útil para comprobar que no has cometido ningún error al resolver aquel problema repleto de cálculos tediosos.

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